محمد رضا رزم آرا
مقدمه
مسأله را می توان به زبان ساده تعریف کرد. هر گاه فردی بخواهد کاری انجام دهد ولی نتواند به هدف خود برسد، برایش مسأله ایجاد می شود. به عبارت دیگر هر موقعیت مبهم یک مسأله است. حل مسأله نوعی از یادگیری بسیار پیچیده است. مسأله و تلاش برای حل آن جزئی از زندگی هر فرد است. فرآیند برخورد با شرایط زندگی همان مسأله است.
دو دیدگاه متفاوت در آموزش ریاضیات نسبت به حل مسأله وجود دارد:
۱- ریاضی یاد بدهیم تا دانش آموزان بتوانند مسأله حل کنند.
۲- ریاضی را با حل مسأله آموزش دهیم.
در دیدگاه اول آموزش ریاضی مطابق با محتوای موضوعی است و مفاهیم متفاوتی تدریس می شوند. انتظار داریم دانش آموزان با استفاده از دانش ریاضی خود مسائل متفاوت را حل کنند. اما در دیدگاه دوم آموزش ریاضیات از طریق حل مسأله اتفاق می افتد. یعنی دانش آموز مسأله حل می کند و در ضمن آن محتوا و مفاهیم جدید ریاضی را می سازد، کشف می‌کند و یا یاد می گیرد. در حال حاضر، دیدگاه دوم در آموزش ریاضیات بیشتر مطرح است. در این نگاه حل مسأله نقطه تمرکز یا قلب تپنده آموزش ریاضیات است.
مهارت حل مسأله
اگر از معلمان ریاضی سؤال شود که مشکل اصلی دانش آموزان در درس ریاضی چیست؟ به یقین خواهند گفت: آنها در حل مسأله ناتوان هستند. درمطالعه تیمز نیز همین موضوع را شاهد بودیم. چون در اغلب مسأله‌های آزمون کتبی این مطالعه عملکرد دانش‌آموزان پایین است. در واقع می توانیم بگوییم دانش‌آموزان توانایی یا مهارت حل مسأله را ندارند.
یکی از دلایل این ناتوانی، فقدان طراحی برای آموزش مهارت حل مسأله به دانش آموزان بوده است. یا به عبارتی معلمان به آنها یاد نداده‌اند که چگونه مسأله را حل کنند. هر گاه دانش‌آموزان با مسأله‌ای روبه‌رو شده و از حل آن عاجز مانده‌اند معلمان تنها به بیان راه حل یا پاسخ مسأله اکتفا کرده‌اند و نگاه‌های پرسش گر، کنجکاو و متحیر دانش‌آموزان با این سؤال باقی مانده است: معلم ما چگونه توانست مسأله را حل کند؟ راه حل مسأله چگونه به فکر او رسید؟ چرا ما نتوانستیم راه حل مسأله را کشف کنیم؟
در خیلی از مواقع معلمانی که سعی کرده اند به طریقی حل مسأله را به دانش آموزان خود یاد دهند، راه را اشتباه رفته اند و آموزش های نادرست داده اند. برای مثال به دانش آموزان گفته اند: عددهای مسأله بسیار مهم اند. زیر آن ها خط بکشید. فراموش نکنید که باید از آن ها استفاده کنید. همین آموزش نادرست باعث شده است. دانش آموزان اطلاعات مسأله را به خوبی تشخیص ندهند. وقتی مسأله زیر برای دانش آموزان کلاس سوم مطرح شد، آن عدد ۷۴۷ را در عملیات مسأله دخالت دادند و با آن عدد عبارت های جمع و تفریق و … را نوشتند:
« یک هواپیمای بوئینگ ۷۴۷ با ۲۳۷ مسافر در فرودگاه نشست و ۱۳۰ مسافر را پیاده کرد. حالا این هواپیما چند مسافر دارد؟»
یا برای دانش‌آموزان گفته اند که درمسأله بعضی از کلمه‌ها بسیار مهم است. برای مثال اگر کلمه روی هم را دیدید مسئله مربوط به جمع است و اگر کلمه اختلاف را دیدید حتماً باید تفریق کنید.
به همین دلیل در مسأله زیر که در مطالعه تیمز (۲۰۰۳) آمده بود، عده‌ای از دانش آموزان کلاس چهارم شرکت کننده در این مطالعه به اشتباه افتادند و مسأله را به جای ضرب، جمع کردند.
«در یک سالن سینما ۱۵ ردیف صندلی وجود دارد. در هر ردیف ۱۹ صندلی قرار دارد. این سالن روی هم چند صندلی دارد؟» بهتر است این روش‌های آموزش
نادرست را به کار نبریم و به دنبال طرحی برای آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان باشیم.
آموزش حل مسأله
آیا حل مسأله آموزش دادنی است؟ یکی از دلایل فقدان طرحی برای آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان، این است که آموزشگران ریاضی تا چندین سال پیش معتقد بودند که حل مسأله آموزش دادنی نیست بلکه یک هنر یا ویژگی و توانایی است که بعضی از انسا‌ن‌ها دارند و بعضی ندارند. بنابراین هیچ کس تلاش برای حل مسأله به دانش‌آموزان نمی‌کرد. اما تعداد کسانی که درمورد آموزش حل مسأله تحقیق می‌کنند بیشتر است. یکی از افرادی که در مورد چگونگی حل مسأله و آموزش آن تحقیق کرد، جرج پولیا است. حاصل کار او در کتاب «چگونه مسأله حل کنیم» منتشر شد. مرحوم احمد آرام این کتاب را ترجمه کرده است. او در مقدمه کتاب خود می گوید: « من یک ریاضیدان هستم. متخصص آموزش ریاضی نیستم، اما علاقه‌مندم بدانم چرا من می‌توانم مسأله ریاضی را حل کنم و دیگران نمی‌توانند؟ چرا بعضی از دانشجویان مسأله ریاضی را حل می‌کنند ولی بعضی نمی توانند؟ او همین سؤال ها را دنبال کرد و مدلی برای تفکر حل مسأله و آموزش راهبردها ارائه کرد. پولیا دو حرف اساسی دارد. ۱- مدل چهار مرحله ای برای تفکر حل مسأله ۲- آموزش راهبردها که البته نکته دوم در آموزش اهمیت بیشتری دارد.
مدل چهار مرحله‌ای پولیا
فرآیند تفکر حل مسأله برای افراد مختلف متفاوت است. پولیا تلاش کرده تفکر حل مسأله را به نوعی مدل سازی کند. او الگویی چهار مرحله‌ای را مطرح کرده است. در فرآیند حل مسأله این چهار مرحله چهار گام طی می‌شوند تا یک مسأله ریاضی به طور کامل حل شود. مدل چهار مرحله‌ای او به این شکل است:
۱- فهمیدن مسأله
گام اول حل مسأله فهمیدن آن است. این گام نشان می‌دهد، مسأله وقتی مسأله است که نکته‌ای برای فهمیدن
داشته باشد. فهمیدن مسئله یعنی تشخیص داده ها و خواسته های آن و درک ارتباط بین آنها. فهم یک مسأله در واقع بخش اصلی فرآیند حل مسأله است. مسأله‌های پیچیده حل نمی شوند. چون اغلب در فهم آنها مشکل داریم. اغلب دانش آموزان در فهمیدن مسأله اشکال دارند. یکی از دلایل آن اشکال در درک مطلب عبارات صورت مسأله است. معلمان می‌توانند برای طی کردن این گام، سؤال‌های گوناگونی مطرح کنند به نمونه‌های زیر توجه کنید:
داده‌های مسأله چیست؟
خواسته‌های آن کدامند؟
مسأله را به صورت خلاصه بیان کنید.
مسأله را به زبان و بیان خود توضیح دهید و دوباره تکرار کنید.
مسأله را به صورت نمایشی اجرا کنید.
مسأله را با شکل‌ها و یا اشیاء مدل سازی کنید.
آیا معنی واژه‌ها، لغات و اصطلاحات به کار رفته در مسأله را می‌دانید؟
سؤال‌ها و توصیه‌هایی از این دست کمک می کنند، دانش‌آموز در مورد مسأله بهتر فکر کند و معلمان نیز مطمئن شوند که آنها مسأله را درک کرده‌اند.
۲- طرح ریزی کردن
در این طرح مسأله از ابعاد متفاوت ریاضی بررسی می‌شود. یعنی تعیین این که مسأله به کدام یک از شاخه‌های هندسه، کسر، جبر، و … مربوط است. چگونه می‌توان آن را مدل سازی کرد؟ کدام روش یا راهبرد برای حل آن مناسب‌تر است؟ در این مرحله ممکن است مجبور شویم به گام فهمیدن برگردیم و این افت و برگشت تا پیدا کردن یک راه حل مناسب ادامه می‌یابد. در آموزش ابتدایی آن چه بیشتر از همه برای دانش‌آموزان معنی دارد، تشخیص روش یا راهبرد مناسب برای حل مسأله است. به همین دلیل این گام را به انتخاب راهبرد می‌شناسیم. راهبرد یعنی یک روش یا
راه حل عام که در بسیاری از مسائل کاربرد دارد. آموزش راهبردهای حل مسأله، در واقع مهم‌ترین بخش حل مسأله است که برای آموزش هنر حل مسأله راهی به دانش آموزان نشان می‌دهد و آشکار می‌سازد.
۳- حل مسأله
در گام سوم، وقتی راهبرد مناسب برای حل مسأله مشخص شد، به حل آن اقدام می کنیم، هنگام حل مسأله ممکن است به این نتیجه برسیم که راهبرد انتخاب شده مناسب نیست و به حل مسأله منجر نمی شود. بنابراین باید به گام دوم برگردیم و راهبرد تغییر دهیم. یا حتی مجبور شویم برای فهمیدن بخش‌هایی از مسأله به گام اول برگردیم.
حل مسأله صرفاً نوشتن عملیات و عبارت‌های ریاضی نیست، گاهی با انتخاب راهبرد، رسم شکل و کشیدن یک شکل مناسب مسأله به طور کامل حل می‌شود و دیگر نیازی به نوشتن عملیات نیست. یا حدس زدن پاسخ مسأله و آزمایش آن، خواسته مسأله را مشخص می‌کند. در حالی که عملیات و راه حل مستقیمی برای رسیدن به جواب ننوشته ایم.
۴- نگاه به عقب
گام چهارم را اغلب دانش‌آموزان و معلمان طی نمی‌کنند. به عبارت دیگر پیدا کردن پاسخ و حل ریاضی مسأله را پایان کار می‌دانند در حالی که در فرآیند حل مسأله گام نگاه به عقب اهمیت زیادی دارد. این مرحله جلوه‌ها و معنی‌های متفاوتی دارد. تفسیر و ترجمه جواب ریاضی مسأله در دنیای واقعی، بررسی منطقی بودن پاسخ و این که جواب به دست آمده همان خواسته مسأله است یا نه بررسی صحت عملیات انجام شده بررسی مجدد مراحل مسأله، تطبیق شرایط مورد نظر مسأله با پاسخ به دست آمده، بررسی مسأله با یک راهبرد یا راه حل دیگر و در نظر گرفتن سایر حالت‌ها و شرایط برای مسأله، نمونه‌هایی از کارهایی هستند که می‌توان در گام آخر انجام داد.
راهبردهای حل مسأله
چند نکته:
۱- زمانی که آموزش یک راهبرد مورد نظر است، از دانش‌آموزان می‌خواهیم، مسأله‌های داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل کنند تا با آن به طور کامل آشنا شوند. اما با گذشتن از آموزش راهبردها درهنگام حل مسأله آنها می‌توانند از هر راهبردی که مایل هستند مسأله را حل کنند. به این ترتیب، یک مسأله می‌تواند با راهبردهای متفاوت در کلاس حل شود. در صورتی که این اتفاق درکلاس بیفتد باعث خوشحالی و سربلندی معلم خواهد شد.
۲- آموزش راهبرد یعنی فراهم کردن شرایط و موقعیتی که دانش‌آموز درک کند، راهبرد مورد نظر برای حل مسأله کارآیی دارد.
۳- تعداد راهبرد زیاد است اما آموزش تعداد زیادی راهبرد به دانش‌آموزان طبق تحقیقات انجام شده مناسب نیست. زیرا مانع تفکر و خلاقیت دانش‌آموز خواهد شد. در این جا چند راهبرد بررسی می‌شوند:
الف: راهبرد رسم شکل: طبیعی‌ترین راهبردی که به ذهن دانش آموز می رسد رسم شکل است. بسیاری از مسائل با کشیدن شکل مناسب یا مسأله به طور کامل حل یا راه حل آنها آشکار می‌شود. اغلب معلمان این راهبرد (راه حل) را در حل مسأله‌ها از دانش‌آموزان نمی‌پذیرند به همین دلیل این راهبرد طبیعی کم‌کم کنار گذاشته می‌شود. مثال زیرنشان می‌دهد، چگونه می‌توان از این راهبرد در حل مسأله‌ای استفاده کرد.
«در یک مزرعه ۲۰ مرغ وگاو وجود دارد . تعداد پاهای آنها ۵۶ عدد است. چند مرغ و چند گاو در این مزرعه وجود دارند؟» این مسأله با استفاده از راهبردهای رسم شکل، با اطلاعات دانش‌آموزان کلاس دوم دبستان قابل حل است.
– ابتدا ۲۰ دایره به جای سرها می‌کشیم. برای هر کدام ۲ خط (۲پا) درنظر می‌گیریم تا این جا می‌شود ۴۰ پا، ۱۶ پای باقیمانده را با اضافه کردن ۲ تا ۲ تا رسم می‌کنیم.
ب) راهبردهای زیر مسأله: مسأله‌های پیچیده و چند هدفی معمولاً از چند مسأله ساده تشکیل شده‌اند. گاهی حل یک مسأله و یا زنجیره‌ای از زیر مسأله‌ها به حل مسأله اصلی منجر می‌شوند. تشخیص زیر مسأله‌ها و حل آنها، راهبرد مهمی برای حل مسأله‌های ترکیبی است. مسأله زیر با استفاده از این راهبرد حل شده است:
«رضا ۳۷ عدد گردو جمع کرده است. تعداد گردوهای علی ۱۷ تا بیشتر از اوست . این دو نفر روی هم چند گردو جمع کرده اند؟»
این مسأله در واقع از دو مسأله کوچک تشکیل شده است که با حل آنها می‌توان پاسخ را پیدا کرد.
۱- تعداد گردوهای علی چند تا است؟
۲- تعدادگردوهای رضا و علی روی هم چند تاست؟
پس
۱- تعداد گردوهای علی ۵۴=۱۴+۳۷
۲- تعداد گردوهای رضا و علی ۹۱=۳۷+۵۴
در این راهبرد، دانش‌آموزان باید یاد بگیرند، چگونه زیر مسأله‌ها را تشخیص دهند. آنها را جداگانه بنویسند و سپس به حل تک‌تک آنها اقدام کنند.
ج) راهبرد حل مسأله ساده‌تر: گاهی مسأله پیچیدگی‌هایی دارد که نمی‌توان آن را به راحتی حل کرد. اما وقتی آن را ساده می‌کنیم، یا حل و یا روش حل آن ظاهر می‌شود. وقتی مسأله درحالت ساده‌تر بررسی شد یا یک الگو‌یابی می‌توان آن را به حالت کلی تعمیم داد. ساده کردن عددها و داده‌ها نیز بخشی از این راهبرد است. در مسأله زیر با ساده کردن عددها می‌توان به راه حل نزدیک شد.
«در یک کارخانه، لوله‌هایی به طول متر تولید می‌شود. در یک روز ۲۴۴ عدد لوله تولید شده است. در این روز چند متر لوله تولید شده است؟ »
شکل ساده شده مسأله چنین است: یک کارخانه لوله‌هایی به طول ۲ متر تولید می‌کند. اگر ۲۰۰ عدد لوله تولید شود، چند متر لوله تولید شده است؟ یعنی با تغییر دادن عددها و ساده کردن آنها، می‌توان به راه حل مسأله که ضرب است نزدیک شد.
د) راهبرد حذف حالت نامطلوب: وقتی از تمام حالت‌های ممکن پاسخ یک مسئله و با استفاده از داده‌ها، فرض‌ها و اطلاعات مسأله حالت‌های نامطلوب یکی‌یکی یا دسته دسته حذف می‌شوند، خود را به پاسخ نزدیک می‌کنیم. حذف حالت‌های نامطلوب، یعنی کنار گذاشتن حالت‌هایی که با شرایط و فرضیات مسأله تطبیق نداند تا رسیدن به پاسخ و حالت مطلوب که مورد نظر مسأله است. به مثال زیر توجه کنید.
یک بازی دو نفره به این صورت انجام می‌شود که یک نفر عددی بین ۱ تا ۱۰۰ در ذهن خود مجسم می‌کند. نفر بعد با سؤال کردن از او، به طوری که فقط پاسخ بلی یا خیر بشنود، باید به عددی دست یابد که در ذهن نفر اول است. سؤال آیا این عدد دو رقمی است مناسب نیست چون اگر پاسخ مثبت باشد، فقط ۹ عدد (حالت نامطلوب) حذف می‌شود و ۹۰ عدد دیگر باقی می‌ماند.
سؤال آیا این عدد زوج است، مناسب است، چو در هر صورت یعنی از حالت‌ها حذف می‌شوند. بهترین سؤال برای شروع این است: آیا این عدد بین ۱ تا ۵۰ قرار دارد؟ به این ترتیب نیمی از حالت‌ها حذف می‌شوند. اگر پاسخ مثبت بود، سوال بعدی این است که آیا عدد بین ۱ تا ۲۵ است؟ به همین ترتیب، با نصف کردن، عددهای نامطلوب کم کم حذف می شوند تا به عدد مورد نظر دست یابیم.
منابع :
– عباس زادگان، سید محمد، ارائه الگویی در برنامه درسی ریاضیات جدید، فصلنامه تعلیم و تربیت، شماره ۴، سال ۱۳۶۴، ص ۳۷.
– گروه ریاضی کاربردی، واژه نامهٌ ریاضی، انتشارات جهاد دانشگاهی صنعتی شریف، چاپ پنجم، تیر ۱۳۶۹.
– شیخ‌زاده، مصطفی و مهر محمدی، محمود ۱۳۸۳، نرم‌افزار آموزشی ریاضی ابتدایی بر اساس رویکرد سازنده گرایی و سنجش میزان اثر بخشی آن، نوآوری‌های آموزشی، سال سوم، شماره ۹.
